Module : Logique

Exercice

Voici 5 propositions.  Définissez de façon précise les propositions simples P et Q qui interviennent dans ces propositions composées et traduisez chacune de ces 5 propositions sous forme de propositions logiques symboliques.

(a) Si tu triches, j'abandonne le jeu.

(b) Si tu triches alors je n'abandonne pas le jeu.

(c) Si tu ne joues pas honnêtement, j'abandonne le jeu.

(d) Tu ne triches pas ou j'abandonne le jeu.

(e) Si je continue à jouer alors tu ne triches pas.

Laquelle des 5 propositions ci-dessus n'est logiquement équivalente à aucune des autres ?

Réponse

La proposition (b) n'est équivalente à aucune autre.

Aide

Ecrivez les 5 propositions sous forme de propositions logiques avec des connecteurs binaires.

Faites ensuite les tables de vérité de ces 5 propositions pour voir celle qui n'est pas équivalente aux autres.

Solution

Prenons \(P\) : "tu triches" et \(Q\) : "j'abandonne le jeu". Les 5 propositions s'écrivent alors à l'aide des connecteurs logiques :

(a) \(P\Rightarrow Q \)

(b) \(P\Rightarrow\neg Q \)

(c) \(P\Rightarrow Q\)

(d) \(\neg P\, \vee Q \)

(e) \(\neg Q\Rightarrow\neg P\)

Les tables de vérités sont les suivantes

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & \neg P&\neg Q&P\Rightarrow Q&P\Rightarrow\neg Q&\neg P\vee Q&\neg Q\Rightarrow\neg P \\ \hline V&V&F&F&V&F&V&V\\ V&F&F&V&F&V&F&F\\ F&V&V&F&V&V&V&V\\ F&F&V&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array} \)

En regardant les quatres dernières colonnes, on remarque que la colonne "\(P\Rightarrow\neg Q \)" est différente des autres. La proposition "\(P\Rightarrow\neg Q \)" n'est donc pas équivalente aux autres propositions.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici et ici.


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