Module : Trigonométrie

Exercice

Résolvez les équations suivantes

(a) \(2\sin^2{x}=1-\sin{x}\)

Réponse

\(S=\{\frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)

Aide

Posez \(t=\sin{x}\)  puis résolvez l'équation du second degré en \(t\).

Solution

\(2\sin^2{x}=1-\sin{x}\)

\(2\sin^2{x}+\sin{x}-1=0\)

Posons \(t=\sin{x}\). On obtient \(2t^2+t-1=0\) et donc \(t=\frac{1}{2}\) ou \(t=-1\).

\(\begin{array}{lcl} \sin{x}=\frac{1}{2}& ou &\sin{x}=-1\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& &x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\\ ou&&\\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi&& \end{array}\)

\(S=\{\frac{\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{6}+2k\pi,\, \frac{3\pi}{2}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\cos{x}+\cos{2x}=0\)

Réponse

\(S=\{\frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi,\, \pi+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)

Aide

Remplacez \(\cos{2x}\) par \(2\cos^2{x}-1\) puis posez \(t=\cos{x}.\)

Résolvez ensuite l'équation du second degré en \(t\).

Solution

\(\cos{x}+\cos{2x}=0\)

\(\cos{x}+2\cos^2{x}-1=0\)

Posons \(t=\cos{x}\). On obtient \(2t^2+t-1=0\) et donc \(t=\frac{1}{2}\) ou \(t=-1\).

\(\begin{array}{lcl} \cos{x}=\frac{1}{2}& ou &\cos{x}=-1\\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi& &x=\pi+2k\pi\\ ou&&\\ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi&& \end{array}\)

\(S=\{\frac{\pi}{3}+2k\pi,\, \frac{5\pi}{3}+2k\pi,\, \pi+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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