Module : Géométrie et mesure

Exercice

Donnez la surface de l'hexagone de côté \(c\).

Réponse

\( \displaystyle{\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2}\)

Aide

La surface de l'hexagone de côté \(c\) est 6 fois la surface d'un triangle équilatéral de côté \(c\).

Solution

Soit \(ABCDEF\) un hexagone de côté \(c\). On a

\(S(ABCDEF)=6\cdot S(OAB)\)

\(OAB\) est un triangle équilatéral de côté \(c\).

Or, dans un triangle équilatéral, la hauteur \(h\) coupe le côté opposé perpendiculairement en son milieu. On déduit donc du Théorème de Pythagore que

\(\begin{array}{c} h^2+( \dfrac{c}{2})^2=c^2\\ \\ h^2=c^2- \dfrac{c^2}{4}= \dfrac{3}{4}c^2\\ \\ h= \dfrac{\sqrt{3}}{2}c \end{array} \)

La surface du triangle équilatéral \(OAB\) est donc

\(S(OAB)= \dfrac{1}{2}\cdot c\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot c= \dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2 \)

et la surface de l'hexagone \(ABCDEF\) est

\(S(ABCDEF)=6\cdot S(OAB)=6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}c^2.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve  ici et ici.


Retour à la liste

Théorie