Module : Géométrie et mesure
Exercice
Donnez la surface de l'hexagone de côté \(c\).
Réponse
\( \displaystyle{\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2}\)
Aide
La surface de l'hexagone de côté \(c\) est 6 fois la surface d'un triangle équilatéral de côté \(c\).
Solution
Soit \(ABCDEF\) un hexagone de côté \(c\). On a
\(S(ABCDEF)=6\cdot S(OAB)\)
où \(OAB\) est un triangle équilatéral de côté \(c\).
Or, dans un triangle équilatéral, la hauteur \(h\) coupe le côté opposé perpendiculairement en son milieu. On déduit donc du Théorème de Pythagore que
\(\begin{array}{c} h^2+( \dfrac{c}{2})^2=c^2\\ \\ h^2=c^2- \dfrac{c^2}{4}= \dfrac{3}{4}c^2\\ \\ h= \dfrac{\sqrt{3}}{2}c \end{array} \)
La surface du triangle équilatéral \(OAB\) est donc
\(S(OAB)= \dfrac{1}{2}\cdot c\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot c= \dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2 \)
et la surface de l'hexagone \(ABCDEF\) est
\(S(ABCDEF)=6\cdot S(OAB)=6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}c^2.\)