Module : Ensembles

Exercice

Ecrivez en extension les ensembles suivants

(a) \(P = \{x : x^2 - x - 2 = 0 \},\)

Réponse

\(P = \{-1,2\}\)

Aide

\(P\) contient les solutions de l'équation du second degré.

Solution

On cherche \(x\) tel que \(x^2-x-2=0.\) Calculons \(b^2 - 4ac = 9\)

On en déduit que \(x = \frac{1+3}{2}=2\) ou \(x = \frac{1-3}{2}= -1\)

L'ensemble \(P\) s'écrit donc \(P = \{-1,2\}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(Q = \{x : x \mbox{ est une lettre du mot "existe" }\},\)

Réponse

\(Q = \{\mbox{e, x, i, s, t}\}\)

Aide

Dans un ensemble, un même élément n'apparaît pas deux fois.

Solution

La lettre "e" apparait deux fois dans le mot "existe". On ne la prend qu'un seul fois pour former l'ensemble \(Q.\) On obtient ainsi \(Q = \{\mbox{e, x, i, s, t}\}.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(R = \{x: x^2 = 9 \mbox{ et }x-3=5\}\)

Réponse

\(R = \emptyset\)

Aide

L'ensemble R contient les valeurs de x qui satisfont les deux equations en même temps.

Solution

On a  \(x^2 = 9\) si \(x = -3\) ou \(x = 3\). Et \(x-3 = 5\) si \(x = 8\). Aucune valeur de \(x\) ne satisfait les deux equations en même temps. Il n'y a donc pas de solution et l'ensemble \(R\) est vide : \(R = \emptyset\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(S = \{x : x \mbox{ est une voyelle }\},\)

Réponse

\(S = \{\mbox{ a, e, i, o, u, y}\}\)

Aide

L'ensemble \(S\) contient les 6 voyelles de l'alphabet.

Solution

Les 6 voyelles de l'alphabet sont \(\text{ a, e, i, o, u }\)et \(y.\)

On a donc \(S = \{\mbox{ a, e, i, o, u, y}\}.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(e) \(T = \{x : x \text{ est un chiffre du nombre 2324}\}.\)

Réponse

\(T = \{2, 3, 4\}\)

Aide

Dans un ensemble, un même élément n'apparaît pas deux fois.

Solution

Le chiffre "\(2\)" apparait deux fois dans le nombre "\(2324\)". On ne le prend qu'une seule fois pour former l'ensemble \(T.\) On obtient ainsi \(T = \{2,3,4\}.\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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