Théorie du module : Inégalités
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Afficher toute la théorie du modulePropriétés des inégalités
Dans \(\mathbb{R}\), nous avons une relation d'ordre. Quand on travaille avec des inégalités, il faut connaître les règles suivantes : soit \(a,\, b,\, c,\, d\) des nombres réels. On a
- Si \(a>b\) et \(b>c\), alors \(a>c\).
- Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a+c > b+c\).
Lorsqu'on retranche un même nombre des deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si \(a>b\), alors \(\; a-c>b-c\). - Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inégalité
- par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(a\cdot c>b\cdot c\); - par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire :
si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(a\cdot c<b\cdot c\).
- par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
- Lorsqu'on divise les deux membres d'une inégalité
- par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
si \(a>b\) et \(c>0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\) où \(c\neq 0\); - par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire : si \(a>b\) et \(c<0\), alors \(\displaystyle\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\) où \(c\neq 0\).
- par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens :
- Lorsqu'on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens que les précédentes :
si \(a>b\) et \(c>d\), alors \(a+c>b+d\). - Lorsqu'on soustrait membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité dont le sens est celui de la première inégalité :
si \(a>b\) et \(c<d\), alors \(a-c>b-d\). - Lorsqu'on passe à l'inverse, on change le sens de l'inégalité : si \(0<a<b\), alors \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\).