Module : Égalités

Exercice

Résolvez les équations suivantes

(a) \(\displaystyle{ \frac{5x+6}{2x+3}=4}\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{-2\}\)

Aide

Faites passer le membre de droite dans l'autre membre et réduisez au même dénominateur.

Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \dfrac{5x+6}{2x+3}=4 \\ \dfrac{5x+6-4(2x+3)}{2x+3}=0 \\ \dfrac{5x+6-8x-12}{2x+3}=0 \\ \dfrac{-3x-6}{2x+3}=0 \\ -3x-6=0\mbox{ et }2x+3\neq 0 \\ 3x=-6\mbox{ et }2x\neq -3 \\ x=-2\mbox{ et }x\neq - \dfrac{3}{2} \end{array}\)

Il y a une solution : \(S=\{-2\}\) .

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(|x-3|=|3x-1|\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{-1,\, 1\} \)

Aide

Deux valeurs absolues sont égales si leurs arguments sont égaux ou opposés.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \vert x-3\vert=\vert 3x-1\vert \\ x-3=3x-1\mbox{ ou }x-3=-(3x-1) \\ 2x=-2\mbox{ ou }x-3=-3x+1 \\ x=-1\mbox{ ou }4x=4 \\ x=-1\mbox{ ou }x=1 \end{array}\)

Il y a deux solutions : \(S=\{-1,\, 1\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour les valeurs absolues, voir ici.


(c) \(\displaystyle{ \frac{x^2-2x+1}{x^3-x}=0}\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\emptyset\)

Aide

Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Factorisez le numérateur à l'aide des produits remarquables.

Factorisez le dénominateur en mettant x en évidence.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \dfrac{x^2-2x+1}{x^3-x}=0 \\ \dfrac{(x-1)^2}{x(x^2-1)}=0 \\ (x-1)^2=0\mbox{ et }x(x^2-1)\neq 0 \\ x-1=0\mbox{ et }x(x-1)(x+1)\neq 0 \\ x=1\mbox{ et }x\neq 0,\, x\neq 1,\, x\neq -1 \end{array}\)

Il n'y a donc pas de solution : \(S=\emptyset\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


(d) \(\displaystyle{ \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}=0}\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{-1,\, 1\} \)

Aide

Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Factorisez le numérateur en mettant \(x^2\) en évidence dans les deux premiers termes.

Factorisez le dénominateur en utilisant les produits remarquables.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}=0 \\ \dfrac{x^2(x+2)-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0 \\ \dfrac{(x^2-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0 \\ (x^2-1)(x+2)=0\mbox{ et }(x-2)(x+2)\neq 0 \\ (x-1)(x+1)(x+2)=0\mbox{ et }(x-2)(x+2)\neq 0 \\ x=1,\, x=-1,\, x=-2\mbox{ et }x\neq 2,\, x\neq -2 \end{array}\)

Il y a donc deux solutions : \(S=\{-1,\, 1\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


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