Module : Inégalités
Exercice
Résolvez les inéquations suivantes
(a) \(\vert x-4 \vert <1\)
Réponse
\(S=\, ]3,5[\, \)
Aide
Par définition de la valeur absolue, on a \(\mid x\mid <a\) si et seulement si \(-a<x<a\).
Solution
On a
\( \begin{array}{c} \vert x-4\vert <1 \\ -1<x-4<1 \\ -1+4<x-4+4<1+4 \\ 3<x<5 \end{array}\)
On obtient \(S=\, ]3,5[\, \).
Théorie
(b) \(\vert x+5 \vert \geq 2\)
Réponse
\(S=\, ]-\infty;-7]\cup [-3;+\infty[\, \)
Aide
Par définition de la valeur absolue, on a \(\mid x\mid <a\) si et seulement si \(-a<x<a\).
Solution
On a
\(\begin{array}{c} \vert x+5\vert\geq 2 \\ x+5\geq 2\mbox{ ou }x+5\leq -2 \\ x\geq -3\mbox{ ou }x\leq -7 \end{array}\)
On obtient \(S=\, ]-\infty;-7]\cup [-3;+\infty[\, \).
Théorie
(c) \(x-1 \leq \vert x-2 \vert\)
Réponse
\(S=\, ]-\infty;\frac{3}{2}]\)
Aide
Enlevez la valeur absolue en discutant selon le signe de \(x-2\).
Il y a alors deux inéquations à résoudre.
Solution
Par définition de la valeur absolue, on a
\(\mid x-2\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-2 & \mbox{si} & x\geq 2 \\ 2-x & \mbox{si} & x<2 \end{array} \right. \)
Il y a donc deux cas possibles :
- Si \(x<2\) alors l'inéquation devient
\(\begin{array}{c} x-1\leq 2-x \\ 2x\leq 3 \\ x\leq \frac{3}{2} \end{array}\)
On a donc une première solution
\(S_1=\, ]-\infty;2[\, \cap\, \left]-\infty; \frac{3}{2}\right] =\, \left]-\infty; \frac{3}{2}\right].\)
- Si \(x\geq 2\) alors l'inéquation devient
\(\begin{array}{c} x-1\leq x-2 \\ -1\leq -2 \end{array} \)
ce qui est impossible. Une deuxième solution est donc \(S_2=\emptyset \).
Finalement la solution de l'inéquation est donnée par
\(S=S_1\cup S_2=\, \left] -\infty;\frac{3}{2}\right] .\)
Théorie
(d) \(\vert x-1\vert + \vert x-2 \vert >1\)
Réponse
\(S=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\, \)
Aide
Enlevez les valeurs absolues en discutant selon le signe de \(x-1\) et \(x-2\).
Il y a alors trois inéquations à résoudre.
Solution
Par définition de la valeur absolue, on a
\(\mid x-1\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-1 & \mbox{si} & x\geq 1 \\ 1-x & \mbox{si} & x<1 \end{array} \right.\)
et
\(\mid x-2\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-2 & \mbox{si} & x\geq 2 \\ 2-x & \mbox{si} & x<2 \end{array} \right.\)
Il y a donc trois cas possibles :
- Si \(x<1\) alors l'inéquation devient
\(\begin{array}{c} 1-x+2-x>1 \\ 3-2x>1 \\ -2x>-2 \\ x<1 \end{array}\)
On a donc une première solution
\(S_1=\, ]-\infty; 1[\, \cap\, ]-\infty; 1[\, =\, ]-\infty; 1[\, .\)
- Si \(1\leq x<2\) alors l'inéquation devient
\(\begin{array}{c} x-1+2-x>1 \\ 1>1 \end{array}\)
ce qui est impossible. Une deuxième solution est donc \(S_2=\emptyset \).
- Si \(x\geq 2 \) alors l'inéquation devient
\(\begin{array}{c} x-1+x-2>1 \\ 2x-3>1 \\ 2x>4 \\ x>2 \end{array}\)
On a donc une troisième solution
\(S_3=[2;+\infty[\, \cap\, ]2;+\infty[\, =\, ]2;+\infty[\, .\)
Finalement la solution de l'inéquation est donnée par
\(S=S_1\cup S_2\cup S_3=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\, .\)