Module : Logique

Exercice

Démontrez que

la somme des \(n\) premiers entiers positifs vaut \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Réponse

Démonstration par récurrence.

Aide

Commencez par vérifier que cette proposition est vraie pour \(n=0 \).

Supposez ensuite qu'elle est vraie pour \(n=k \), c'est-à-dire que

\(0+1+2+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2} ,\)

et montrez qu'elle est encore vraie pour \(n=k+1 \), c'est-à-dire que

\(0+1+2+\cdots +(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \).

Solution

  • La proposition est vraie pour \(n=0 \). En effet, on a \(0=\dfrac{0(0+1)}{2} \).
  • Supposons que la proposition est vraie pour \(n=k \), c'est-à-dire que

\(0+1+2+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}\)

(c'est l'hypothèse de récurrence). Voyons qu'elle est également vraie pour \(n=k+1 \). On a

\(\begin{array}{rcl} 0+1+2+\cdots +(k+1)& = & 0+1+2+\cdots +k+(k+1) \\ &&\\ & = & \dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1) \mbox{ par hypothèse de récurrence}\\ &&\\ & = & \dfrac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\\ &&\\ & = & \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} \end{array}\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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