Module : Égalités
Exercice
Résolvez les équations suivantes
(a) \(\displaystyle{ \frac{5x+6}{2x+3}=4}\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{-2\}\)
Aide
Faites passer le membre de droite dans l'autre membre et réduisez au même dénominateur.
Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} \dfrac{5x+6}{2x+3}=4 \\ \dfrac{5x+6-4(2x+3)}{2x+3}=0 \\ \dfrac{5x+6-8x-12}{2x+3}=0 \\ \dfrac{-3x-6}{2x+3}=0 \\ -3x-6=0\mbox{ et }2x+3\neq 0 \\ 3x=-6\mbox{ et }2x\neq -3 \\ x=-2\mbox{ et }x\neq - \dfrac{3}{2} \end{array}\)
Il y a une solution : \(S=\{-2\}\) .
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(|x-3|=|3x-1|\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{-1,\, 1\} \)
Aide
Deux valeurs absolues sont égales si leurs arguments sont égaux ou opposés.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} \vert x-3\vert=\vert 3x-1\vert \\ x-3=3x-1\mbox{ ou }x-3=-(3x-1) \\ 2x=-2\mbox{ ou }x-3=-3x+1 \\ x=-1\mbox{ ou }4x=4 \\ x=-1\mbox{ ou }x=1 \end{array}\)
Il y a deux solutions : \(S=\{-1,\, 1\} \).
Théorie
(c) \(\displaystyle{ \frac{x^2-2x+1}{x^3-x}=0}\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\emptyset\)
Aide
Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
Factorisez le numérateur à l'aide des produits remarquables.
Factorisez le dénominateur en mettant x en évidence.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} \dfrac{x^2-2x+1}{x^3-x}=0 \\ \dfrac{(x-1)^2}{x(x^2-1)}=0 \\ (x-1)^2=0\mbox{ et }x(x^2-1)\neq 0 \\ x-1=0\mbox{ et }x(x-1)(x+1)\neq 0 \\ x=1\mbox{ et }x\neq 0,\, x\neq 1,\, x\neq -1 \end{array}\)
Il n'y a donc pas de solution : \(S=\emptyset\).
Théorie
(d) \(\displaystyle{ \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}=0}\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par les valeurs trouvées.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{-1,\, 1\} \)
Aide
Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
Factorisez le numérateur en mettant \(x^2\) en évidence dans les deux premiers termes.
Factorisez le dénominateur en utilisant les produits remarquables.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} \dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}=0 \\ \dfrac{x^2(x+2)-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0 \\ \dfrac{(x^2-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0 \\ (x^2-1)(x+2)=0\mbox{ et }(x-2)(x+2)\neq 0 \\ (x-1)(x+1)(x+2)=0\mbox{ et }(x-2)(x+2)\neq 0 \\ x=1,\, x=-1,\, x=-2\mbox{ et }x\neq 2,\, x\neq -2 \end{array}\)
Il y a donc deux solutions : \(S=\{-1,\, 1\} \).