Module : Inégalités
Exercice
Résolvez les inéquations suivantes
(a) \((x-1)(x-2)>0\)
Réponse
\(S=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\)
Aide
Faites un tableau de signes de l'expression \((x-1)(x-2)\).
Solution
Un tableau de signes de l'expression \((x-1)(x-2)\) est
\(\begin{array}{c|ccccc} & & 1 & & 2 & \\ \hline x-1 & - & 0 & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x-1)(x-2) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \)
Cette expression est strictement positive si \(x<1\) ou si \(x>2\) .
La solution est \(S=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\,\) .
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\displaystyle { x^2 < 3}\)
Réponse
\(S=\, ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\, \)
Aide
Faites un tableau de signes de l'expression \(x^2-3\).
Solution
On a \(x^2<3\) si \(x^2-3<0 \). Un tableau de signes de l'expression \(x^2-3\) est
\(\begin{array}{c|ccccc} & & -\sqrt{3} & & \sqrt{3} & \\ \hline x^2-3 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)
Cette expression est strictement négative si \(-\sqrt{3}<x<\sqrt{3} \).
La solution est \(S=\, ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\, \).
Théorie
(c) \(\displaystyle {x^3>x}\)
Réponse
\(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \)
Aide
Mettez tous les \(x\) dans le membre de gauche et factorisez-le.
Faites ensuite un tableau de signes de l'expression obtenue.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} x^3>x \\ x^3-x>0 \\ x(x^2-1)>0 \\ x(x-1)(x+1)>0 \end{array}\)
Un tableau de signes de l'expression est
\(\begin{array}{c|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 &\\ \hline x & - & - & - & 0 & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ x+1 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x^3-x & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)
Cette expression est strictement positive si \(-1<x<0\) et si \(x>1 \).
La solution est \(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \).
Théorie
(d) \(\displaystyle { x^2 +x -6 \leq 0}\)
Réponse
\(S=[-3,2]\)
Aide
Factorisez le membre de gauche et faites un tableau de signes de l'expression obtenue.
Solution
On calcule \(b^2-4ac=1+24=25 \). Les racines sont \(x_1=\frac{-1+5}{2}=2\) et \(x_2=\frac{-1-5}{2}=-3 \). Donc \(x^2+x-6=(x-2)(x+3) \).
Un tableau de signes de cette expression est
\(\begin{array}{c|ccccc} & & -3 & & 2 & \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + \\ x+3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline x^2+x-6 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)
Cette expression est négative ou nulle si \(-3\leq x\leq 2 \).
La solution est \(S=[-3,2] \).