Module : Paraboles
Exercice
Déterminez l'équation de la parabole qui coupe l'axe \(OX\) en un point d'abscisse \(3\) et qui a pour sommet le point \((-2,3)\).
Réponse
\(25y=-3x^2-12x+63\)
Aide
Soit \(P\, :\, y=ax^2+bx+c \).
Le sommet appartient à la parabole et à son axe de symétrie et l'intersection avec l'axe \(OX\) est le point \((3,0) \).
Il faut alors résoudre le système à trois équation et trois inconnues pour trouver \(a\), \(b\) et \(c \).
Solution
Soit \(P\, :\, y=ax^2+bx+c \).
Le sommet appartient à l'axe de symétrie de la parabole, ce qui implique que \(- \dfrac{b}{2a}=-2\) et que le point \((-2,3)\in P \), donc que \(4a-2b+c=3\).
L'intersection avec l'axe \(OX\) est le point \((3,0) \), donc \(9a+3b+c=0 \).
Il faut alors résoudre le système à trois équation et trois inconnues pour trouver \(a\), \(b\) et \(c \) :
\(\left\{ \begin{array}{c} - \dfrac{b}{2a}=-2 \\ 4a-2b+c=3\\ 9a+3b+c=0 \end{array} \right.\)
On obtient \(a=- \dfrac{3}{25} \), \(b=- \dfrac{12}{25}\) et \(c= \dfrac{63}{25} \). La parabole cherchée est donc \(y=- \dfrac{3}{25}x^2- \dfrac{12}{25}x+ \dfrac{63}{25} \)ou encore \(25y=-3x^2-12x+63 \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.