Module : Inégalités

Exercice

Résolvez les inéquations suivantes

(a) \(\displaystyle{ \frac{5x+6}{2x+3}<4}\)

Réponse

\(S=\, ]-\infty;-2[\, \cup\, ]-\frac{3}{2};+\infty[\, \)

Aide

Soustrayez 4 des deux membres et réduisez le membre de gauche au même dénominateur.

Faites ensuite un tableau de signes de l'expression obtenue.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \dfrac{5x+6}{2x+3}<4 \\ \dfrac{5x+6}{2x+3}-4<0 \\ \dfrac{5x+6-4(2x+3)}{2x+3}<0 \\ \dfrac{5x+6-8x-12}{2x+3}<0 \\ \dfrac{-3x-6}{2x+3}<0 \end{array}\)

Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & -2 & & -\frac{3}{2} & \\ \hline -3x-6 & + & 0 & - & - & - \\ 2x+3 & - & - & - & 0 & + \\ \hline \dfrac{-3x-6}{2x+3} & - & 0 & + & | & - \end{array}\)

Cette expression est strictement négative si \(x<-2\) ou \(x>-\frac{3}{2} \).

La solution est \(S=\, ]-\infty;-2[\, \cup\, ]-\frac{3}{2};+\infty[\, \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\displaystyle{ \frac{x^2-2x+1}{x^3-x} \geq 0}\)

Réponse

\(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \)

Aide

Factorisez le numérateur et le dénominateur.

Faites ensuite un tableau de signes de l'expression obtenue.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} \dfrac{x^2-2x+1}{x^3-x}\geq 0 \\ \dfrac{(x-1)^2}{x(x^2-1)}\geq 0 \\ \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)(x+1)}\geq 0 \end{array}\)

Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 & \\ \hline (x-1)^2 & + & + & + & + & + & 0 & + \\ x & - & - & - & 0 & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ x+1 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline & - & | & + & | & - & | & + \end{array}\)

Cette expression est positive ou nulle si \(-1<x<0\) ou \(x>1 \).

La solution est \(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


(c) \(\displaystyle{ 1< \frac{1}{x} \leq 2 }\)

Réponse

\(S=[\frac{1}{2}, 1[\,\)

Aide

\(1<\frac{1}{x}\leq 2\) si \(1<\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x}\leq 2\).

Résolvez séparément ces deux inéquations, puis faites l'intersection des solutions obtenues.

Solution

On a \(1<\frac{1}{x}\leq 2\) si \(1<\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x}\leq 2 \).

D'une part,

\(\begin{array}{c} 1<\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x}-1>0 \\ \frac{1-x}{x}>0 \end{array}\)

Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & 0 & & 1 & \\ \hline 1-x & + & + & + & 0 & - \\ x & - & 0 & + & + & + \\ \hline \dfrac{1-x}{x}& - & | & + & 0 & - \end{array}\)

Cette expression est strictement positive si \(0<x<1 \).

D'autre part,

\(\begin{array}{c} \frac{1}{x}\leq 2 \\ \frac{1}{x}-2\leq 0 \\ \frac{1-2x}{x}\leq 0 \end{array}\)

Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & 0 & & \frac{1}{2} & \\ \hline 1-2x & + & + & + & 0 & - \\ x & - & 0 & + & + & + \\ \hline \dfrac{1-2x}{x}& - & | & + & 0 & - \end{array}\)

Cette expression est négative ou nulle si \(x<0\) ou si \(x\geq\frac{1}{2} \).

Finalement, on aura \(1<\frac{1}{x}\leq 2\) si \(( 0<x<1 )\) et \(( x<0\) ou \(x\geq\frac{1}{2} )\).

La solution est \(S=[\frac{1}{2}, 1[\,\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(d) \(\displaystyle{ \frac{x^3+3x^2-4x}{x^2-4x+4} \leq 0}\)

Réponse

\(S=\, ]-\infty;-4] \cup [0,1] \)

Aide

Factorisez le numérateur et le dénominateur.

Faites ensuite un tableau de signes de l'expression obtenue.

Solution

On a

\(\dfrac{x^3+3x^2-4x}{x^2-4x+4}\leq 0 \\ \dfrac{x(x^2+3x-4)}{(x-2)^2}\leq 0\)

On calcule \(b^2-4ac=9+16=25\) et donc les racines du numérateur sont \(x_1=\frac{-3+5}{2}=1\) et \(x_2=\frac{-3-5}{2}=-4 \).

Il faut donc que \(\dfrac{x(x-1)(x+4)}{(x-2)^2}\leq 0 \). Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccccccc} & & -4 & & 0 & & 1 & & 2 & \\ \hline x & - & - & - & 0 & + & + & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & - & - & 0 & + & + & + \\ x+4 & - & 0 & + & + & + & + & + & + & + \\ (x-2)^2 & + & + & + & + & + & + & + & 0 & + \\ \hline & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & | & + \end{array}\)

Cette expression est négative ou nulle si \(x\leq -4\) ou \(0\leq x\leq 1 \).

La solution est \(S=\, ]-\infty;-4] \cup [0,1] \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


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