Module : Inégalités

Exercice

Résolvez les inéquations suivantes

(a) \((x-1)(x-2)>0\)

Réponse

\(S=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\)

Aide

Faites un tableau de signes de l'expression \((x-1)(x-2)\).

Solution

Un tableau de signes de l'expression \((x-1)(x-2)\) est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & 1 & & 2 & \\ \hline x-1 & - & 0 & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x-1)(x-2) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \)

Cette expression est strictement positive si \(x<1\) ou si \(x>2\) .

La solution est \(S=\, ]-\infty;1[\, \cup\, ]2;+\infty[\,\) .

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(\displaystyle { x^2 < 3}\)

Réponse

\(S=\, ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\, \)

Aide

Faites un tableau de signes de l'expression \(x^2-3\).

Solution

On a \(x^2<3\) si \(x^2-3<0 \). Un tableau de signes de l'expression \(x^2-3\) est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & -\sqrt{3} & & \sqrt{3} & \\ \hline x^2-3 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)

Cette expression est strictement négative si \(-\sqrt{3}<x<\sqrt{3} \).

La solution est \(S=\, ]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\, \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


(c) \(\displaystyle {x^3>x}\)

Réponse

\(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \)

Aide

Mettez tous les \(x\) dans le membre de gauche et factorisez-le.

Faites ensuite un tableau de signes de l'expression obtenue.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} x^3>x \\ x^3-x>0 \\ x(x^2-1)>0 \\ x(x-1)(x+1)>0 \end{array}\)

Un tableau de signes de l'expression est

\(\begin{array}{c|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 &\\ \hline x & - & - & - & 0 & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ x+1 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x^3-x & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)

Cette expression est strictement positive si \(-1<x<0\) et si \(x>1 \).

La solution est \(S=\, ]-1,0[\, \cup\, ]1;+\infty[\, \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


(d) \(\displaystyle { x^2 +x -6 \leq 0}\)

Réponse

\(S=[-3,2]\)

Aide

Factorisez le membre de gauche et faites un tableau de signes de l'expression obtenue.

Solution

On calcule \(b^2-4ac=1+24=25 \). Les racines sont \(x_1=\frac{-1+5}{2}=2\) et \(x_2=\frac{-1-5}{2}=-3 \). Donc \(x^2+x-6=(x-2)(x+3) \).

Un tableau de signes de cette expression est

\(\begin{array}{c|ccccc} & & -3 & & 2 & \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + \\ x+3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline x^2+x-6 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}\)

Cette expression est négative ou nulle si \(-3\leq x\leq 2 \).

La solution est \(S=[-3,2] \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour la factorisation, voir ici.


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