Module : Égalités

Exercice

Résolvez les équations suivantes

(a) \((x-3)^2=(x+2)(x-2)\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée; dans ce cas-ci, on trouve \(\frac{25}{36}= \frac{25}{36} \).

Réponse

\(S=\{ \frac{13}{6}\} \)

Aide

Effectuez les produits remarquables dans les deux membres.

Soustrayez \(x^2\) de chaque membre.

Mettez enfin tous les \(x\) dans le même membre et les constantes dans l'autre.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} (x-3)^2=(x+2)(x-2) \\ x^2-6x+9=x^2-4 \\ -6x+9=-4 \\ 6x=9+4 \\ 6x=13 \\ x= \dfrac{13}{6} \end{array}\)

La solution est \(S=\{ \frac{13}{6}\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour les produits remarquables, voir ici.


(b) \((x-2)(2x+3)-2(3x-2)(x-2)=0\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{2,\, \frac{7}{4}\} \)

Aide

Mettez en évidence le terme \((x-2) \).

Distribuez dans l'autre facteur.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} (x-2)(2x+3)-2(3x-2)(x-2)=0 \\ (x-2)(2x+3-2(3x-2))=0 \\ (x-2)(2x+3-6x+4)=0 \\ (x-2)(-4x+7)=0 \\ x-2=0\mbox{ ou }-4x+7=0 \\ x=2\mbox{ ou }4x=7 \\ x=2\mbox{ ou }x= \dfrac{7}{4} \end{array}\)

Il y a donc deux solutions : \(S=\{2,\, \frac{7}{4}\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \((x-2)^2-25=0\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{-3,\, 7\} \)

Aide

Effectuez les produits remarquables.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} (x-2)^2-25=0 \\ ((x-2)-5)((x-2)+5)=0 \\ (x-7)(x+3)=0 \\ x=7\mbox{ ou }x=-3 \end{array}\)

Il y a deux solutions : \(S=\{-3,\, 7\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

Pour les produits remarquables, voir ici.


(d) \(7x(x-1)+2(1-x)=0\)

Vérification

Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.

Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.

Réponse

\(S=\{ \frac{2}{7},\, 1\} \)

Aide

Mettez \((x-1) \) en évidence dans les deux membres.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

Solution

On a

\(\begin{array}{c} 7x(x-1)+2(1-x)=0 \\ 7x(x-1)-2(x-1)=0 \\ (x-1)(7x-2)=0 \\ x-1=0\mbox{ ou }7x-2=0 \\ x=1\mbox{ ou }7x=2 \\ x=1\mbox{ ou }x= \dfrac{2}{7} \end{array}\)

Il y a deux solutions : \(S=\{ \frac{2}{7},\, 1\} \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie