Module : Égalités
Exercice
Résolvez les équations suivantes
(a) \((x-3)^2=(x+2)(x-2)\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée; dans ce cas-ci, on trouve \(\frac{25}{36}= \frac{25}{36} \).
Réponse
\(S=\{ \frac{13}{6}\} \)
Aide
Effectuez les produits remarquables dans les deux membres.
Soustrayez \(x^2\) de chaque membre.
Mettez enfin tous les \(x\) dans le même membre et les constantes dans l'autre.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} (x-3)^2=(x+2)(x-2) \\ x^2-6x+9=x^2-4 \\ -6x+9=-4 \\ 6x=9+4 \\ 6x=13 \\ x= \dfrac{13}{6} \end{array}\)
La solution est \(S=\{ \frac{13}{6}\} \).
Théorie
(b) \((x-2)(2x+3)-2(3x-2)(x-2)=0\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{2,\, \frac{7}{4}\} \)
Aide
Mettez en évidence le terme \((x-2) \).
Distribuez dans l'autre facteur.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} (x-2)(2x+3)-2(3x-2)(x-2)=0 \\ (x-2)(2x+3-2(3x-2))=0 \\ (x-2)(2x+3-6x+4)=0 \\ (x-2)(-4x+7)=0 \\ x-2=0\mbox{ ou }-4x+7=0 \\ x=2\mbox{ ou }4x=7 \\ x=2\mbox{ ou }x= \dfrac{7}{4} \end{array}\)
Il y a donc deux solutions : \(S=\{2,\, \frac{7}{4}\} \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \((x-2)^2-25=0\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{-3,\, 7\} \)
Aide
Effectuez les produits remarquables.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} (x-2)^2-25=0 \\ ((x-2)-5)((x-2)+5)=0 \\ (x-7)(x+3)=0 \\ x=7\mbox{ ou }x=-3 \end{array}\)
Il y a deux solutions : \(S=\{-3,\, 7\} \).
Théorie
(d) \(7x(x-1)+2(1-x)=0\)
Vérification
Dans l'équation de départ, remplacez \(x\) par la valeur trouvée.
Si la réponse est correcte, l'égalité sera vérifiée.
Réponse
\(S=\{ \frac{2}{7},\, 1\} \)
Aide
Mettez \((x-1) \) en évidence dans les deux membres.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Solution
On a
\(\begin{array}{c} 7x(x-1)+2(1-x)=0 \\ 7x(x-1)-2(x-1)=0 \\ (x-1)(7x-2)=0 \\ x-1=0\mbox{ ou }7x-2=0 \\ x=1\mbox{ ou }7x=2 \\ x=1\mbox{ ou }x= \dfrac{2}{7} \end{array}\)
Il y a deux solutions : \(S=\{ \frac{2}{7},\, 1\} \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.