Module : Paraboles
Exercice
Donnez l'équation de la parabole de sommet \((2,-1)\) et qui coupe l'axe des ordonnées en \(y=-5\).
Réponse
\(y=-x^2+4x-5\)
Aide
Soit \(P\, :\, y=ax^2+bx+c \).
Le sommet appartient à la parabole et à son axe de symétrie et l'intersection avec l'axe \(OY\) est le point \((0,-5) \).
Il faut alors résoudre le système à trois équation et trois inconnues pour trouver \(a\) , \(b\) et \(c \).
Solution
Soit \(P\, :\, y=ax^2+bx+c \).
Le sommet appartient à l'axe de symétrie de la parabole, ce qui implique que \(- \dfrac{b}{2a}=2\) et que le point \((2,-1)\in P\), donc que \(4a+2b+c=-1 \).
L'intersection avec l'axe \(OY\) est le point \((0,-5) \), donc \(c=-5 \).
Il faut alors résoudre le système à trois équation et trois inconnues pour trouver \(a\) , \(b\) et \(c \) :
\(\left\{ \begin{array}{c} - \dfrac{b}{2a}=2 \\ 4a+2b+c=-1\\ c=-5 \end{array} \right.\)
On obtient \(a=-1 \), \(b=4\) et \(c=-5 \). La parabole cherchée est donc \(y=-x^2+4x-5 \).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.