Théorie du module : Logique

Tautologie ou loi logique

Définition - Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions simples qui la composent.

Pour démontrer qu'une proposition composée est une tautologie, on construit sa table de vérité et on constate que la dernière colonne est formée uniquement de \(V\).

Par exemple, les propositions

\(\begin{array}{c} \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\\ \neg (p\wedge\neg p) \\ (p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedge p) \\ (p\vee q)\Leftrightarrow(q\vee p) \end{array} \)

sont des tautologies.  Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve ici.

La proposition \(((P\wedge Q)\, \vee\, R)\Leftrightarrow(P\wedge(Q\, \vee\, R))\) n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérité, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de \(V\). Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &R&P\wedge Q&(P\wedge Q)\vee R&Q\vee R&P\wedge(Q\vee R)&((P\wedge Q)\vee R)\\ &&&&&&&\Leftrightarrow(P\wedge(Q\vee R))\\ \hline V&V&V&V&V&V&V&V\\ V&V&F&V&V&V&V&V\\ V&F&V&F&V&V&V&V\\ V&F&F&F&F&F&F&V\\ F&V&V&F&V&V&F&F\\ F&V&F&F&F&V&F&V\\ F&F&V&F&V&V&F&F\\ F&F&F&F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}\)

 

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