Module : Logique

Exercice

Donnez la négation des propositions suivantes

(a) \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x + y = 0.\)

Réponse

  \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x+y \neq 0.\)

Aide

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.

Solution

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.

La négation de

\(( \forall x\in\mathbb{R},\exists\, y\in\mathbb{R}\, :\, x+y=0 ) \)

est

\(( \exists\, x\in\mathbb{R},\forall y\in\mathbb{R}\, :\, x+y\neq 0 ).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) Les ensembles \(A\) et \(B\) ont au moins un élément en commun.

Réponse

\(A\cap B=\emptyset .\)

Aide

Si A et B n'ont pas au moins un élément en commun, c'est que tous leurs éléments sont différents.

Solution

La négation de la phrase "Les ensembles A et B ont au moins un élément en commun." est  "Les ensembles A et B n'ont aucun élément en commun.'', ou encore \(A\cap B=\emptyset \).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) Tous les éléments de l'ensemble \(A\) sont des réels positifs. (où \(A \subseteq \mathbb{R}\))

Réponse

L'ensemble A contient au moins un réel strictement négatif.

Aide

Pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on remplace \(\forall\) par \(\exists \) et \(\exists \) par \(\forall\) et on nie la propriété.

Solution

La proposition peut s'écrire

\(( \forall x\in A\, :\, x\in\mathbb{R}^+ ),\)

c'est-à-dire

\(( \forall x\in A\, :\, x\geq 0 ).\)

Pour nier une proposition contenant un quantificateur universel, on remplace ce quantificateur par le quantificateur existentiel et on nie la propriété.

La négation de cette proposition est

\(( \exists\, x\in A\, :\, x< 0 ).\)

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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