Module : Logique
Exercice
Les propositions suivantes sont-elles des tautologies ?
(a) \((P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg P \Rightarrow \neg Q)\)
Réponse
Ce n'est pas une tautologie.
Aide
Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . Ce n'est pas le cas ici.
Solution
La proposition n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de V . Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\Rightarrow Q& \neg P&\neg Q&\neg P\Rightarrow\neg Q&(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\neg P\Rightarrow\neg Q) \\ \hline V&V&V&F&F&V&V\\ V&F&F&F&V&V&F\\ F&V&V&V&F&F&F\\ F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)
Théorie
(b) \(((P\Rightarrow Q)\wedge (Q \Rightarrow P)) \Leftrightarrow(P\Leftrightarrow Q)\)
Réponse
C'est une tautologie.
Aide
Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . C'est le cas ici.
Solution
La proposition est une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V . Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\Rightarrow Q&Q\Rightarrow P&P\Leftrightarrow Q&(P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)&((P\Rightarrow Q)\wedge (Q\Rightarrow P))\\ &&&&&&\Leftrightarrow (P\Leftrightarrow Q)\\ \hline V&V&V&V&V&V&V\\ V&F&F&V&F&F&V\\ F&V&V&F&F&F&V\\ F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)
Théorie
(c) \(\neg(P \vee Q)\Leftrightarrow(\neg P \vee \neg Q)\)
Réponse
Ce n'est pas une tautologie.
Aide
Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . Ce n'est pas le cas ici.
Solution
La proposition n'est pas une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne n'est pas composée uniquement de V . Cette affirmation est donc vraie ou fausse selon les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\vee Q&\neg (P\vee Q)&\neg P&\neg Q&\neg P\vee\neg Q&\neg (P\vee Q)\Leftrightarrow (\neg P\vee\neg Q)\\ \hline V&V&V&F&F&F&F&V\\ V&F&V&F&F&V&V&F\\ F&V&V&F&V&F&V&F\\ F&F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)
Théorie
(d) \(\neg(P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)\)
Réponse
C'est une tautologie.
Aide
Faites les tables de vérité. Si l'énoncé est une tautologie, la dernière colonne doit comporter uniquement la valeur de vérité V . C'est le cas ici.
Solution
La proposition est une tautologie car quand on regarde les tables de vérités, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V . Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q &P\wedge Q&\neg (P\wedge Q)&\neg P&\neg Q&\neg P\vee\neg Q&\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow (\neg P\vee\neg Q)\\ \hline V&V&V&F&F&F&F&V\\ V&F&F&V&F&V&V&V\\ F&V&F&V&V&F&V&V\\ F&F&F&V&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)