Théorie du module : Logique

Exemples détaillés

  1. Traduire en mathématique l'énoncé "Tout nombre réel est majoré par un entier".
    Solution détaillée : Cela signifie que pour chaque nombre réel, on peut trouver un entier qui est plus grand que lui. Mathématiquement, on écrira

    \(\forall x\in \mathbb{R},\exists\, z\in \mathbb{Z}\, :\, x\leq z.\)

     

  2. Traduire en français l'énoncé \(\forall x,\forall A,\forall B\, :\, x\in (A\cap B)\Rightarrow x\in (A\cup B)\).
    Solution détaillée : Quels que soient les ensembles \(A\) et \(B\) que l'on considère, tout élément \(x\) qui se trouve dans \(A\cap B\) se trouve aussi dans \(A\cup B\). Tout élément de l'intersection de deux ensembles se trouve donc aussi dans leur union. On peut encore dire "l'intersection de deux ensembles est contenue dans leur union".
  3. Niez la phrase suivante "Dans tout pays, il y a une ville où les maisons qui sont à moins de 100 mètres du centre ont au moins un étage".
    Solution détaillée :La négation de "dans tout pays" est "il existe au moins un pays", la négation de "il y a une ville où les maisons qui sont à moins de 100 mètres du centre ont au moins un étage" est "toutes les villes où il y a au moins une maison qui est à moins de 100 mètres du centre et n'a pas au moins un étage". La négation demandée est donc "Il existe un pays où toutes les villes ont au moins une maison de plain-pied à moins de 100 mètres du centre".
  4. Montrez que pour tout \(n\in\mathbb{N}_0\),

    \(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\)

    Solution détaillée : On va prouver cette affirmation par récurrence. Il faut montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}_0\), on a

    \(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\)

    Puisqu'il faut prouver l'affirmation pour tout \(n\in\mathbb{N}_0\), on va commencer par la prouver pour \(n=1\).
    • \(P(1)\) est l'affirmation

      \(1^2=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.\)

      Cette affirmation est clairement vraie.
    • Soit \(k\in\mathbb{N}_0\), un entier quelconque et supposons que \(P(k)\) est vraie, c'est-à-dire supposons que

      \(1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

      Voyons que \(P(k+1)\) est vraie. On a

      \(1^2+2^2+3^2+\cdots +(k+1)^2=(1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2)+(k+1)^2\)

      et par hypothèse de récurrence, on peut écrire

      \((1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2)+(k+1)^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2.\)

      De plus,

      \(\begin{array}{rcl} \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2&= &\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}, \\ & = & \dfrac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}, \\ &= &\dfrac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}, \\ & = & \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} . \end{array} \)

      On obtient ainsi

      \((1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2)+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6},\)

      ce qui est exactement \(P(k+1)\).
    Par le principe de récurrence, on a bien prouvé l'affirmation pour tout \(n\in\mathbb{N}_0\).
  5. Démontrez que \(\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}\).
    Solution détaillée : On va faire une démonstration par l'absurde.
    Supposons que \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Il existe donc \(p\in \mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{Z}_0\) tels que \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}\) avec \(p\) et \(q\) premiers entre eux.
    En élevant les deux membres au carré, on obtient \(\frac{p^2}{q^2}=2\), c'est-à-dire \(p^2=2q^2\). On en déduit que \(p^2\) est pair et donc \(p\) est pair. Puisque \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux, cela signifie que \(q\) est impair.
    De plus, si \(p\) est pair, alors \(p^2\) est multiple de \(4\) et, q étant impair, il est impossible que \(2q^2\) soit un multiple de \(4\). On ne peut donc pas avoir \(p^2=2q^2\), c'est-à-dire qu'il est impossible que \(\sqrt{2}\) s'écrive sous la forme d'une fraction. Donc \(\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}\).
    1. Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions \(\neg (\neg p\vee q)\) et \((p\wedge\neg q)\) sont logiquement équivalentes.
    2. Formez la négation de la phrase "Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent" en la transformant d'abord sous forme de propositions, ensuite appliquez les règles de la négation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire.
    Solution détaillée :
    1. Les propositions \(\neg (\neg p\vee q)\) et \((p\wedge\neg q)\) sont logiquement équivalentes.

      \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p&q&\neg p&\neg q&\neg p \vee q&\neg (\neg p \vee q)&p \wedge \neg q \\ \hline V&V&F&F&V&F&F \\ V&F&F&V&F&V&V \\ F&V&V&F&V&F&F \\ F&F&V&V&V&F&F \\ \hline \end{array}\)

      Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sont logiquement équivalentes.
    2. La phrase "Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent" est constituée des propositions
      \(p\) : Les étudiants guindaillent.
      \(q\) : Les étudiants ratent.
      En utilisant \(p\) et \(q\), la phrase peut s'écrire sous forme \(\neg p\vee q\).
      On a vu au point ci-dessus que la négation de\((\neg p\vee q)\) est \((p\wedge\neg q)\). La négation de la phrase est donc "Les étudiants guindaillent et ne ratent pas".

     

    1. Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions \((p\Rightarrow\neg q)\) et \(\neg(p\wedge q)\) sont logiquement équivalentes.
    2. Formez la négation de la phrase "Il y a des contraintes en architecture et de la liberté en mathématiques" en la transformant d'abord sous forme de propositions, ensuite appliquez les règles de la négation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire.
    Solution détaillée :
    1. Les propositions \((p\Rightarrow\neg q)\) et \(\neg(p\wedge q)\) sont logiquement équivalentes.

      \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \neg q&p\wedge q&\neg(p\wedge q)&p\Rightarrow\neg q \\ \hline V&V&F&V&F&F\\ V&F&V&F&V&V\\ F&V&F&F&V&V\\ F&F&V&F&V&V\\ \hline \end{array}\)

      Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sont logiquement équivalentes.
    2. La phrase "Il y a des contraintes en architecture et de la liberté en mathématiques" est constituée des propositions
      \(p\) : Il y a des contraintes en architecture.
      \(q\) : Il y a de la liberté en mathématiques.
      En utilisant \(p\) et \(q\), la phrase peut s'écrire sous forme \(p\wedge q\).
      On a vu au point ci-dessus que la négation de \(p\wedge q\) est \((p\Rightarrow\neg q)\). La négation de la phrase est donc "S'il y a des contraintes en architecture alors il n'y a pas de liberté en mathématiques".

     

  6. La proposition \(((p\Rightarrow q)\wedge (\neg p\Rightarrow q))\Rightarrow q\) est-elle une tautologie ?
    Solution détaillée : Oui car quand on regarde les tables de vérité, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V. Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent.

    \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \neg p&p\Rightarrow q&\neg p\Rightarrow q&(p\Rightarrow q)\wedge (\neg p\Rightarrow q)&((p\Rightarrow q)\wedge (\neg p\Rightarrow q))\Rightarrow q \\ \hline V&V&F&V&V&V&V\\ V&F&F&F&V&F&V\\ F&V&V&V&V&V&V\\ F&F&V&V&F&F&V\\ \hline \end{array}\)

  7. Donnez la réciproque et la contraposée de la proposition "\(x\in\mathbb{N}\Rightarrow x\geq 0\)".
    Solution détaillée :Pour trouver la réciproque d'une implication, on renverse le sens de la flèche. La réciproque est donc

    \(x\geq 0\Rightarrow x\in\mathbb{N}.\)

     

    Pour trouver la contraposée d'une implication, on nie les deux propositions qui la composent, puis on renverse le sens de la flèche. La négation de "\(x\in \mathbb{N}\) " est "\(x\not\in\mathbb{N}\)" et la négation de "\(x\geq 0\)" est "\(x<0\)". La contraposée demandée est donc

    \(x<0\Rightarrow x\not\in\mathbb{N}.\)

     

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