Théorie du module : Fonctions
Table des matières
- Définitions
- Représentation graphique
- Propriétés
- Fonctions élémentaires
- Opérations sur les fonctions
- Exemples détaillés
Exemples détaillés
- On considère la fonction \(f(x)=-2x+2\). Déterminer les racines et l'ordonnée à l'origine de cette fonction.
Solution détaillée : Les racines sont les solutions de l'équation \(f(x)=0\). On trouve \(-2x+2=0\) et donc \(x=1\). L'ordonnée à l'origine est la valeur \(f(0)\). On a \(f(0)=2\).
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On considère la fonction \(f(x)=-2x+2\). Les couples \((0,0)\), \((1,0)\), \((3,1)\) et \((2,-2)\) appartiennent-ils au graphe de \(f\) ?
Solution détaillée : Les points \((1,0)\) et \((2,-2)\) appartiennent au graphe de \(f\). En effet, on a \(f(1)=-2+2=0\) et \(f(2)=-4+2=-2\). Les points \((0,0)\) et \((3,1)\) n'appartiennent pas au graphe de \(f\) car \(f(0)=2\neq 0\) et \(f(3)=-6+2=-4\neq 1\).
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Pour la fonction \(f(x)=-2x+2\), calculer \(f(3)\), \(f(-1)\) et \(f(0)\).
Solution détaillée : En remplçant \(x\) par \(3\) dans la formule de la fonction, on obtient \(f(3)=-6+2=-4\). De même, on a \(f(-1)=2+2=4\) et \(f(0)=0+2=2\).
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Déterminer les points d'abscisse \(2\) sur le graphe suivant.
Solution détaillée : On trace la droite \(x=2\). Elle coupe le graphe en \(y=5\). Le point cherché est donc \((2,5)\).
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Déterminer les points où \(f\) vaut \(2\).
Solution détaillée : On trace la droite \(y=2\). Elle coupe le graphe en \(x=5\). Le point cherché est donc \((5,2)\).
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Chercher le domaine de définition de la fonction \(g(x)=\frac{1}{x^2-x}\).
Solution détaillée : Etant donné que
\(g(x)=\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)},\)
et que la division par 0 n'est pas licite, nous constatons que \(g(x)\) n'est pas définie lorsque \(x=0\) ou \(x=1\). Dès lors, le domaine de définition de \(g\) est
\(\{x\, :\, x\ne 0, x\ne 1\}=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\)
qui, en termes d'intervalles, s'écrit aussi
\(]-\infty;0\,[\,\cup\,]\,0,1\,[\,\cup\,]\,1;+\infty[.\)
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Etant donné la représentation graphique de \(y=\sqrt x\) (domaine \(\mathbb{R}^+\)), appliquer les transformations adéquates pour obtenir le graphique de \(y=\sqrt x-2\), \(y=\sqrt{x-2}\), \(y=-\sqrt x\), \(y=2\sqrt x\) et \(y=\sqrt{-x}\).
Solution détaillée : Nous traçons
- \(y=\sqrt x-2\) (domaine \(\mathbb{R}^+\)) en déplaçant la courbe \(y=\sqrt x\) de 2 unités vers le bas,
- \(y=\sqrt{x-2}\) (domaine \([2;+\infty[\)) en translatant la courbe \(y=\sqrt x\) de 2 unités vers la droite,
- \(y=-\sqrt x\) (domaine \(\mathbb{R}^+\)) en prenant l'image symétrique de la courbe \(y=\sqrt x\) par rapport à l'axe \(OX\),
- \(y=2\sqrt x\) (domaine \(\mathbb{R}^+\)) en étirant verticalement la courbe \(y=\sqrt x\) d'un facteur 2,
- \(y=\sqrt{-x}\) (domaine \(\mathbb{R}^-\)) en prenant l'image symétrique de la courbe \(y=\sqrt x\) par rapport à l'axe \(OY\).
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Faites le graphique de la fonction \(y=\sin 2x\).
Solution détaillée : Nous obtenons le graphique de \(y=\sin 2x\) en comprimant horizontalement d'un facteur 2 le graphique de \(y=\sin x\).
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Faites le graphique de la fonction \(y=1-\sin x\).
Solution détaillée : Pour obtenir le graphique de \(y=1-\sin x\), nous prenons à nouveau celui de \(y=\sin x\) que nous réfléchissons autour de l'axe \(OX\) pour produire celui de \(y=-\sin x\) et ensuite nous le portons 1 unité plus haut.
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Si \(f(x)=\sqrt{2-x}\) et \(g(x)=\sqrt x\), définir \(f\circ g\) et son domaine de définition.
Solution détaillée : \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt x)=\sqrt{2-\sqrt x}.\)
Pour que \(\sqrt x\) soit défini, il faut \(x\ge 0\). Pour que \(\sqrt{2-\sqrt x}\) soit défini, il faut \(2-\sqrt x\ge 0\), ce qui revient à \(\sqrt x\le 2\), ou encore à \(0\leq x\le 4\). Finalement, le domaine de définition de \(f\circ g\) est l'intervalle fermé \([0,4]\).
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Un conteneur rectangulaire sans couvercle offre un volume de 10 m\(^3\). Un côté de sa base est deux fois plus long que l'autre. Le matériau pour la fabriquer revient à 10 euros le mètre carré tandis que celui des flancs revient à 6 euros le mètre carré. Exprimer le coût de fabrication en fonction du plus petit des côtés de la base.
Solution détaillée : Nous commençons par faire un croquis du conteneur en y indiquant les notations \(w\) et \(2w\) pour les côtés de la base et \(h\) pour la hauteur. Comme l'aire de la base mesure \((2w)w=2w^2\), son coût de fabrication est \(10(2w^2)\). Quant aux faces latérales, deux d'entre elles mesurent \(wh\) et les deux autres, \(2wh\). Leur coût, dans le matériau ad hoc, est donc \(6[2(wh)+2(2wh)]\). Le coût total s'élève à
\(C=10(2w^2)+6[2(wh)+2(2wh)]=20w^2+36wh.\)
Afin d'exprimer \(C\) comme fonction de la seule variable \(w\), nous devons éliminer \(h\) et pour cela nous utilisons le fait que le volume est de 10 m\(^3\). De
\(w(2w)h=10,\)
nous extrayons
\(h=\frac{10}{2w^2}=\frac{5}{w^2}.\)
Par substitution de cette expression de \(h\) dans celle de \(C\), nous obtenons
\(C=20w^2+36w\left(\frac{5}{w^2}\right)=20 w^2+\frac{180}{w}.\)
Finalement,
\(C(w)=20 w^2+\frac{180}{w},\qquad w>0\)
est l'expression de \(C\) en fonction de \(w\).
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Trouver \(f\circ g\circ h\) pour \(f(x)=\frac{x}{x+1}\), \(g(x)=x^{10}\) et \(h(x)=x+3\).
Solution détaillée : Domaines de définition : les domaines de \(g\) et de \(h\) sont \(\mathbb{R}\); celui de \(f\) est \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Le domaine de définition de \(f\circ g\circ h\) est \(\{x \in \mbox{dom }h\) tels que \(h(x) \in \mbox{dom }g\) et tels que \(g(h(x)) \in \mbox{dom }f \}\), c'est-à-dire \(\{x \in \mathbb{R} \) tels que \((x+3)^{10}\not = -1 \}\). Comme \((x+3)^{10}\geq 0\) pour tout \(x\), le domaine de \(f\circ g\circ h\) est \(\mathbb{R}\) et
\(\begin{array} {ll}(f\circ g\circ h)(x)&=f(g(h(x)))=f(g(x+3))\\ &\displaystyle =f((x+3)^{10})= \frac{(x+3)^{10}}{(x+3)^{10}+1}. \end{array}\)
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Décomposer la fonction \(F(x)=\sin^3{(x-4)}\) en trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) telles que \(F=f\circ g\circ h\).
Solution détaillée : La formule qui définit \(F\) dit : d'abord retirer 4, puis prendre le sinus du résultat, enfin, élever au cube. Ce qui fait que nous posons
\(h(x)=x-4,\quad g(x)=\sin x,\quad f(x)=x^3.\)
Effectivement
\(\begin{array} {lll}(f\circ g\circ h)(x)&=&f(g(h(x)))=f(g(x-4))=f(\sin(x-4))\\ &=&[\sin(x-4)]^3=F(x). \end{array}\)