Théorie du module : Ensembles

Ensembles de nombres

(a) Des entiers naturels aux réels

Les nombres les plus familiers sont ceux qui servent à compter : \(0,1,2,3,\ldots\) (cette suite de nombres ne s'arrête jamais). Ils s'appellent entiers naturels. Ils sont entiers et positifs et leur ensemble est représenté par \(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}.\)

Par exemple, les nombres \(2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , \dots\) sont des nombres premiers.

Il existe aussi des nombres entiers négatifs comme \(-1,-2,-3,\ldots\). L'ensemble des nombres entiers, désigné par \(\mathbb{Z}\), se compose des entiers positifs, des entiers négatifs et de l'entier nul 0

\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-3,-1,0,1,2,3,\ldots\}.\)

La somme et le produit de deux nombres entiers sont des nombres entiers.

A côté des entiers, il y a aussi les nombres rationnels tels que \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{22}{7},-\frac{2}{3}, \ldots\), qui peuvent s'écrire comme le quotient \(\frac{p}{q}\) de deux entiers \(p\) et \(q\) où \(q\ne 0\). Cet ensemble des nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\). Un nombre rationnel admet une infinité de représentations car

\(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{4}{12}=\frac{33}{99}=\ldots\)

Cependant, un nombre rationnel est généralement noté sous la forme \(\frac{p}{q}\) dite irréductible, c'est-à-dire que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux (n'ont pas de facteur commun autre que 1). La division de \(p\) par \(q\) donne du nombre rationnel \(\frac{p}{q}\) son expression décimale. Cette expression comporte un nombre fini de décimales comme

\(\frac{1}{8}=0,125\)

(c'est le cas lorsque le dénominateur de la fraction ne renferme pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5) ou un nombre infini mais périodique de décimales comme

\(\frac{91}{110}=0,8\,27\,27\,27\ldots\)

Inversément, on peut montrer qu'un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d'un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Il est clair qu'un nombre entier est un nombre rationnel car il peut être mis sous forme d'une fraction (par exemple \(4=\frac{4}{1}=\frac{8}{2}\)) ou sous forme décimale périodique (par exemple \(1=0,999999\ldots\)).

Enfin, les nombres dont la suite des chiffres décimaux est illimitée et non périodique sont appelés irrationnels: on entend par là qu'ils n'appartiennent pas à l'ensemble \(\mathbb{Q}\) car il est démontré qu'ils ne peuvent s'écrire comme le quotient de deux entiers. Tels sont par exemple \(\sqrt 2=1,41421356\ldots, \sqrt 3=1,73205080\ldots,\sqrt 5=2,23606797\ldots, \pi=3,14159265\ldots, e= 2,7182818285\ldots\). Cet ensemble de nombres (qui n'est pas désigné par un symbole particulier) joint à l'ensemble des rationnels constitue l'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\).

Ces quatre ensembles de nombres sont liés par les inclusions

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.\)

(b) Les nombres réels

Il est habituel de représenter un nombre réel par un point de la droite, appelée droite réelle. Sur cette droite, les nombres positifs figurent à droite du point associé à \(0\), appelé origine, et les négatifs à gauche de ce point.

 

Addition et multiplication

L'ensemble \(\mathbb R\) est doté de deux lois, l'addition ''+'' et la multiplication ''.'' qui le munissent d'une structure de corps commutatif. Cela signifie que les propriétes suivantes sont satisfaites.

• Associativité. Pour tout \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in \mathbb R\), on peut écrire

  \(\begin{array}{c} x_1+(x_2+x_3)=(x_1+x_2)+x_3, \\ x_1\cdot (x_2 \cdot x_3)=(x_1\cdot x_2)\cdot x_3. \end{array}\)

  Lorsque l'on écrit par exemple \(x_1+x_2+x_3\), la notation est a priori ambigüe car on ne sait pas si elle signifie \(x_1+(x_2+x_3)\) ou \((x_1+x_2)+x_3\). Mais pour une loi associative, cette ambiguïté n'a pas d'importance car, dans les deux cas, le résultat est le même.

 

• L'Eléments neutres. Pour tout \(x\in \mathbb R\), on a

  \(\begin{array}{c} x+0=0+x=x, \\ x.1=1.x=x. \end{array}\)

 

• Inverses. Pour tout \(x\in\mathbb R\), il existe \(y\in\mathbb R\) tel que \(x+y=y+x=0\), on note \(y=-x\);
  pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}\), il existe \(y\in\mathbb R\) tel que \(x.y=y.x=1\), on note \(y=1/x\).

 

• Commutativité. Pour tout \(x_1\), \(x_2\in \mathbb R\), on a

  \(\begin{array}{c} x_1+x_2=x_2+x_1,\\x_1\cdot x_2=x_2\cdot x_1.\end{array}\)

 

• Distributivité. Pour tout \(x_1, x_2, x_3\in \mathbb R\), on a

  \(\begin{array}{c} x_1\cdot(x_2+x_3)=(x_1\cdot x_2)+(x_1\cdot x_3), \\ (x_1+x_2)\cdot x_3=(x_1\cdot x_3)+(x_2\cdot x_3).\end{array}\)

L'ordre

L'ensemble \(\mathbb{R}\) est muni d'une relation \(x\leq y\) qui vérifie les propriétés suivantes.

• Structure d'ordre. La relation est réflexive: pour tout \(x\in \mathbb R, x\leq x\);
  elle est transitive: pour tout \(x\), \(y\) et \(z\in \mathbb R\), (\(x\leq y\) et \(y\leq z\)) \(\Rightarrow x\leq z\);
  elle est antisymétrique: si \(x\leq y\) et \(y\leq x\), alors \(x=y\).

 

• L'ordre est total. Pour tout \(x\) et \(y\in\mathbb R\), on a \(x\leq y\) ou \(y\leq x\).

 

• L'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication.
  Pour tout \(x\), \(y\) et \(z\in\mathbb R\), \(x\leq y\) implique \(x+z\leq y+z\);
  pour tout \(x\), \(y\), \(z\in\mathbb R\), si \(x\leq y\) et \(0\leq z\) alors \(x.z\leq y.z\).

 

Remarque : On notera indifféremment \(x\leq y\) ou \(y\geq x\). De même, on utilise les notations \(x<y\) pour signifier \(x\leq y\) et \(x\neq y\) et \(x>y\) pour signifier \(x\geq y\) et \(x\neq y\).

 

Notations

Nous utiliserons les notations suivantes~:
\(\mathbb R_0\) est l'ensemble des réels non nuls;
\(\mathbb R^+_0\) est l'ensemble des réels positifs, non nuls;
\(\mathbb R^+\) est l'ensemble des réels positifs ou nuls;
\(\mathbb R^-_0\) est l'ensemble des réels négatifs, non nuls;
\(\mathbb R^-\) est l'ensemble des réels négatifs ou nuls;
\(\mathbb N_0\) est l'ensemble des entiers positifs, non nuls.

(c) Infinis

Un des actes des plus familiers est celui de compter. Considérons l'ensemble \(\{a,b,c,d\}\) constitué des lettres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\). Compter, c'est établir une correspondance entre ces éléments et le début de la suite des entiers. Par exemple, on associe \(a\) à 1, \(b\) à 2, \(c\) à 3 et \(d\) à 4, et on dit que l'ensemble contient 4 éléments.

Il y a plus simple que le comptage : la comparaison, la mise en correspondance des éléments de deux ensembles. Considérons deux ensembles \(\{a,b,c,d\}\) et \(\{x,y,w,z\}\). On peut faire se correspondre les éléments de ces deux ensembles "un à un". Par exemple, on associe \(a\) à \(w\), \(b\) à \(x\), \(c\) à \(z\) et \(d\) à \(y\). De cette manière, chaque élément du premier ensemble a un et un seul correspondant dans le second ensemble, et réciproquement. On dit de cette correspondance qu'elle est bijective. On dit que deux ensembles \(A\) et \(B\) sont les "mêmes arithmétiquement" (c'est-à-dire qu'ils ont le même nombre d'éléments) s'il existe une correspondance bijective entre ces deux ensembles. Pour des ensembles finis, on peut toujours compter le nombre d'éléments de chaque ensemble (compter c'est créer une correspondance bijective avec une partie des entiers naturels). Pour des ensembles infinis, on n'a plus qu'un seul moyen de savoir si deux ensembles ont le même nombre d'éléments : établir une correspondance bijective entre eux.
Par exemple, il y a le même nombre d'entiers naturels pairs que d'entiers naturels : à chaque naturels, on peut faire correspondre son double et à chaque naturel pair on peut faire correspondre sa moitié. On obtient ainsi la correspondance bijective voulue. Il y a autant de nombre pairs que de naturels et il y a autant de nombres impairs que de nombres pairs, et donc que d'entiers...

Un ensemble qui est en correspondance avec l'ensemble des entiers naturels est dit dénombrable. On peut voir qu'il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Cependant, tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Par exemple, l'ensemble \([0;1]\) de tous les nombres réels entre \(0\) et \(1\) est infini, mais il n'est pas dénombrable.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

(d) Intervalles

L'ensemble des nombres réels situés entre deux nombres \(a\) et \(b\) donnés, avec \(a<b\), constitue un intervalle. On distingue trois types d'intervalles:

• l'intervalle ouvert\(]\,a,b\,[\) auquel les points \(a\) et \(b\), appelés extrémités, n'appartiennent pas. Il est défini par

\(]\,a,b\,[ =\{ x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a<x<b\}.\)

 

• l'intervalle fermé \([\,a,b\,]\) auquel les points \(a\) et \(b\) appartiennent. Il est défini par

\([\,a,b\,] =\{ x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a\le x\le b\}.\)

 

• l'intervalle semi-ouvert à droite \([\,a,b\,[\) ou l'intervalle semi-ouvert à gauche \(]\,a,b\,]\) définis par

\([\,a,b\,[ =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a\le x<b\},\)

\(]\,a,b\,] =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a< x\le b\}.\)

La longueur de ces intervalles est \(b-a\).

Les intervalles peuvent être infinis et on adopte alors les notations

\([\,a,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que }a\le x\},\)

\(]\,a,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } a<x\},\)

\(]-\infty,a]=\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } x\le a\},\)

\(]-\infty,a[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \hbox{ tels que } x<a\},\)

\(]-\infty,+\infty[\, =\{x: x\in\mathbb{R} \}=\mathbb{R}.\)

Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels et ne satisfont donc pas les règles habituelles du calcul algébrique. Ils sont introduits essentiellement pour faciliter les notations.

(e) Valeur approchée

Soit \(a\), \(b\) et \(x\in\mathbb{R}\). Les nombres \(a\) et \(b\) encadrent \(x\) si \(a<x<b\). La précision de cet encadrement est donnée par un nombre réel positif.

Autrement dit, le nombre \(a\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à \(\varepsilon\) près si \(a< x<a+\varepsilon\), c'est-à-dire que \(x\in\, ]a, a+\varepsilon[\, \). De même le nombre \(b\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à \(\varepsilon\) près si \(b-\varepsilon<x<b\), c'est-à-dire que \(x\in\, ]b-\varepsilon, b[\, .\)