Module : Calcul algébrique
Exercice
Rendez rationnel le dénominateur des fractions suivantes
(a) \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} }\)
Réponse
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Aide
Multipliez le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{ab}\).
Distribuez ensuite au numérateur.
Solution
\(\begin{array}{rcl} \dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}&=&\dfrac{(a\sqrt{b}+b\sqrt{a})\sqrt{ab}}{ab}\\ &&\\ &=&\dfrac{ab\sqrt{a}+ab\sqrt{b}}{ab}\\ &&\\ &=&\sqrt{a}+\sqrt{b}. \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(b) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{20} - 2\sqrt{10}-1}{\sqrt{5}} }\)
Réponse
\(2-2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
Aide
Multipliez le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}\).
Distribuez ensuite au numérateur.
Solution
\(\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{20}-2\sqrt{10}-1}{\sqrt{5}}&=&\dfrac{\sqrt{100}-2\sqrt{50}-\sqrt{5}}{5}\\ &&\\ &=&\dfrac{\sqrt{100}-2\sqrt{25\cdot 2}-\sqrt{5}}{5}\\ &&\\ &=&\dfrac{10-10\sqrt{2}-\sqrt{5}}{5}\\ &&\\ &=&2-2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}. \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(c) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} }\)
Réponse
\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1\)
Aide
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué \((2+2\sqrt{2})\).
Effectuez ensuite au dénominateur et distribuez au numérateur.
Solution
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}(2+2\sqrt{2})}{4-8}=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{-4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1.\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.
(d) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - 5\sqrt{2}} }\)
Réponse
\(-\dfrac{3\sqrt{2}+5\sqrt{3}}{19}\)
Aide
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué \((2\sqrt{3}+5\sqrt{2})\).
Effectuez ensuite au dénominateur et distribuez au numérateur.
Solution
\(\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-5\sqrt{2}}&=&\dfrac{\sqrt{6}(2\sqrt{3}+5\sqrt{2})}{4\cdot 3-25\cdot 2}\\ &&\\ &=&\dfrac{2\sqrt{18}+5\sqrt{12}}{-38}\\ &&\\ &=&\dfrac{2\sqrt{9\cdot 2}+5\sqrt{4\cdot 3}}{-38}\\ &&\\ &=&-\dfrac{3\sqrt{2}+5\sqrt{3}}{19}. \end{array}\)
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.