Théorie du module : Droites

Preuves

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente vaut \(-1\).

Considérons les droites \(AB\) et \(AC\)\(A=(x_a,y_a)\), \(B=(x_b,y_b)\) et \(C=(x_c,y_c)\), avec \(x_a\neq x_b\) et \(x_a\neq x_c\). On a

\(\begin{array}{rcl} AB\perp AC&\Longleftrightarrow&\overrightarrow{AB}\odot \overrightarrow{AC}=0\\ &\Longleftrightarrow&(x_b-x_a,y_b-y_a)\odot(x_c-x_a,y_c-y_a)=0\\ &\Longleftrightarrow&(x_b-x_a)(x_c-x_a)+(y_b-y_a)(y_c-y_a)=0\\ &\Longleftrightarrow&(y_b-y_a)(y_c-y_a)=-(x_b-x_a)(x_c-x_a)\\ & & \\ &\Longleftrightarrow&\dfrac{(y_b-y_a)}{(x_b-x_a)}\cdot\dfrac{(y_c-y_a)}{(x_c-x_a)}=-1\\ & & \\ &\Longleftrightarrow&m_1\cdot m_2=-1 \end{array} \)

\(m_1\) est la pente de la droite \(AB\) et \(m_2\) est la pente de la droite \(AC\).

Remarque : Les deux premières équivalences sont des propriétés du produit scalaire.
Cliquez sur les liens pour des rappels sur les vecteurs et le produit scalaire.

 

Théorie